ПРОИЗВОДНАЯ В СТО
22. Март, 2017 в 20:21,
Нет комментариев
Рассмотрим, чему равна производная dx/dt в различных системах отсчета
Пусть в начальный момент времени t= tʹ=0 в точке начала отсчета этих систем отсчета вспыхивает лампа. Пока фронт световой волны достигнет другой СО, она, с точки зрения связанного с ней наблюдателя, успевает переместиться на некоторое расстояние
Δx=tV ,
где: t - время перемещения СО на расстояние Δx, а также время распространения фронта световой волны от одной СО к другой;
с – скорость света;
V – относительная скорость движения СО;
Δx=x2-x1
x2 и x2 – начальная и конечная координаты СО.
В СТО утверждается, что для наблюдателя, находящегося в другой СО, значения tʹ и xʹ , в отличие от принципа относительности Галилея, будут другими, т.е. tʹ≠ t , xʹ≠ x и Δxʹ≠Δx.
Запишем уравнения связи пространственно-временных координат для разных СО в виде:
x=ϒ (xʹ- Vtʹ) (1)
xʹ=ϒ (x+ Vt) (2)
где ϒ - некий коэффициент пропорциональности, значение которого и требуется определить.
Вычисление параметра ϒ производится следующим образом.
Поскольку
x= сt (3)
xʹ= сtʹ (4)
то, используя (3) и (4) в (1) и (2), несложно получить уравнения:
сt=ϒ tʹ(с-V) (5)
сtʹ=ϒ t(с+V) (6)
Перемножив между собой правые и левые части уравнений, получаем:
с2ttʹ=ϒ2 ttʹ(с2-V2)
откуда следует искомый результат:
ϒ =1/√(1-V2/C2 ) (7)
Далее, подставив выражение (7) в уравнения (1) и (2), получаются знаменитые формулы СТО.
Вернемся к уравнению (1) и перепишем его в виде:
ϒ = x/(xʹ-Vtʹ ) (8)
Теперь уравнение (8) подставим в (2) и, используя (3) и (4), получим:
xʹ2=x2((c+V)/(c-V)) (9)
откуда следуют два уравнения:
xʹ= x√((c+V)/(c-V)) (10)
xʹ= - x√((c+V)/(c-V)) (11)
Из (10) и (11) при использовании (3) и (4) получаем:
tʹ = t √((c+V)/(c-V)) (12)
Эти уравнения получаются и другим образом (Сущность СТО).
Из (10) и (12) следует равенство производных в штрихованной и нештрихованной СО
dx/dt = (dxʹ)/(dtʹ) = v (13)
что означает, что скорость v является инвариантом.